<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 9 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2011 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627275-0

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
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<P>
                                I
 Sumrio

Terceira Parte

Captulo 4 -- Geometria e 
  medidas: comprimentos
 5- Trigonometria :::::::::: 283
 6- Seno, cosseno e 
  tangente :::::::::::::::::: 302
 Medio indireta de 
  alturas: ao sobre 
  trigonometria ::::::::::::: 310
 7- Valores exatos do seno, 
  do cosseno e da tangente de 
  30}, 45} e 60} ::::::::: 326
 8- Polgonos regulares 
  inscritos na 
  circunferncia :::::::::::: 340
 9- Comprimento da 
  circunferncia :::::::::::: 347

Captulo 5 -- Geometria e 
  medidas: reas e 
  volumes 
 1- rea do retngulo e rea 
  do quadrado ::::::::::::::: 357 
<P>
 2- rea do paralelogramo e 
  rea do tringulo ::::::::: 370
 3- reas de outros 
  polgonos ::::::::::::::::: 387
 Faa o seu cartaz: ao 
  sobre rea do trapzio :::: 392
 4- rea do crculo :::::::: 403
 5- Volume ::::::::::::::::: 413
 6- Volume de prismas e 
  cilindros retos ::::::::::: 424

<113>
<tmat. medida c. 9>
<T+283>
5- Trigonometria 

  A palavra trigonometria junta duas palavras: tringulo `(trigono`) e medida `(metria`). Com essa informao, voc j percebe qual  o objetivo da trigonometria. Em pouco tempo, voc perceber que se trata de um conhecimento muito til. 
  Lembre-se de que ao nos referirmos a razes entre segmentos de reta estamos considerando as razes entre suas medidas. 

Uma razo notvel 

  Considere estes dois tringulos retngulos: 
<F->
             $            
           ^_            
         ^  _              
   *a* ^    _ *b*   
     ^      _                
   ^     !::w                       
 ^ 27}  l_-_              
cccccccccccccc        

               _
             ^ _
           ^   _
     *x* ^     _ *y*
       ^       _
     ^         _ 
   ^        !::w
 ^ 27}     l_-_
ccccccccccccccccc
<F+>

  Como eles so semelhantes, tem-se ax=by. 
  Dessa proporo, deduzimos outra: ba=yx.
  Ou seja, nos dois tringulos, a razo entre o cateto oposto ao ngulo de 27} e a hipotenusa  um mesmo nmero. 
  Que nmero  esse? Vamos fazer o clculo para os dois casos: 
  No tringulo menor: cateto oposto a 27}hipotenusa=ba=
 =1,84=0,45. 
  Confira essas medidas com sua rgua. 
  No tringulo maior: cateto oposto a 27}hipotenusa=yx=
 =2,76=0,45. 
  Agora, ateno: em qualquer outro tringulo retngulo com um ngulo de 27}, a razo cateto oposto a 27}hipotenusa tem o mesmo valor, pois todos os tringulos nessas condies so semelhantes. 
<114>

<F->
^c?{a{b*=cateto oposto a 27}
^c?{a{c*=hipotenusa
:?{a{c{b*=27}
 
A
 .   
 l^
 l  ^      
 r:: ^              
 l_-_   ^
 h::j:::::h
B       C

cateto oposto a 27}hipotenusa=
  =0,45
<F+>

  Essa razo  chamada de seno de 27} e a indicamos por sen. 27}. Logo: sen. 27}=0,45. 
  Agora, considere um tringulo retngulo {a{b{c com um ngulo de 70}. 

<F->
^c?{a{c*=cateto oposto a 70}
^c?{b{c*=hipotenusa
:?{a{b{c*=70}
 
A
 .   
 l^
 l  ^
 l70}^
 l      ^        
 r::     ^              
 l_-_       ^
 h::j:::::::::h
B           C
<F+>

  Pelos mesmos motivos, nos tringulos retngulos que tm um ngulo de 70}, a diviso do cateto oposto pela hipotenusa sempre d o mesmo resultado. Esse resultado  o seno de 70}, indicado por sen. 70}. Seu valor  diferente de sen. 27}. 
  Como voc v, a razo entre cateto oposto e hipotenusa  chamada seno. 
  Como essa razo depende do ngulo envolvido, fala-se em seno do ngulo. 

  Se :{b  um ngulo agudo de um tringulo retngulo, o seno de :{b  a razo entre o cateto oposto a :{b e a hipotenusa. 
 sen. B=cateto opostohipotenusa 

Uma primeira tabela de senos 

  Inicialmente, vamos calcular sen. 40}. Para isso, usando transferidor e esquadro, desenhamos um tringulo retngulo com um ngulo de 40}. 
  Depois, medimos o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa, e dividimos os valores obtidos. 
  Observe que 0,64  um valor aproximado de sen. 40}. Isso porque toda medida contm pequenas imprecises. Da mesma maneira, voc pode encontrar os valores dos senos de 50}, 60} e 70}. Para isso, faa desenhos grandes, com cuidado. 
<115>
  Depois, compare os valores que voc obteve com os valores desta tabela: 

<F->
ngulo _ seno   
:::::::w:::::::
 40  _ 0,64  
 50  _ 0,77  
 60  _ 0,87   
 70  _ 0,94  

            C
            _
          ^ _
        ^   _         
      ^     _                
    ^    !::w                       
  ^ 40} l_-_                
 j::::::::h::j   
B          A
<F+>

sen. 40}={a{c{b{c^=3,5 cm
  5,5 cm^=0,64
<P>
Usando ngulos para calcular 
  lados 

  J sabemos calcular a medida 
 de um lado do tringulo retngulo quando conhecemos as medidas 
 dos outros lados. Basta aplicar 
 o teorema de Pitgoras. Por exemplo: 

<F->
   .   
   l^
5 l  ^ 13        
   l    ^      
   r::   ^              
   l_-_     ^
   h::j:::::::h
       *x*
<F+>

x2+52=132 
 x2=169-25=144 
 x=12
 
  Vamos considerar as medidas em centmetros. 
  Agora, conhecendo as medidas de um lado e de um ngulo agudo do tringulo retngulo, vamos calcular a medida de um segundo lado. Como exemplo, veja este tringulo retngulo: 

<F->
   C 
    .   
    l^ 
*x* l  ^ 8       
    l    ^        
    r::   ^              
    l_-_ 50}^
    h::j:::::::h
   A         B  
<F+>

  Sabemos que sen. 50}=
 ={a{c{b{c. 
  Na tabela de senos, vemos que sen. 50}^=0,77. 
  Ento, sen. 50}={a{c{b{c; portanto, 0,77=x8; logo, x=6,16.
  Vamos considerar as medidas em centmetros. 
<116>
  Para calcular a altura de uma montanha ou a largura de um rio, medem-se ngulos como estes: 

<R+>
_`[{dois desenhos de um homem medindo os seguintes ngulos: da base ao topo de uma montanha e da margem de um rio a uma rvore que se encontra na margem oposta. A seguir, o tringulo que representa esses desenhos_`]
 Legenda: Para medir esses ngulos, existem aparelhos especiais chamados teodolitos.
<R->

<F->
       _
     ^ _         
   ^   _                
 ^40} _                       
j:::::::j
<F+>

   possvel medir esses ngulos com meios bem simples. Por exemplo, mirando o cimo e o p de uma montanha com dois canudinhos de refresco, pode-se obter a medida aproximada do ngulo sob o qual ela  avistada. 
  Com base na medida desse ngulo, pode-se descobrir a altura da montanha. 

<117>
Exemplo 

  O dono do luxuoso hotel 
 Carssimus resolveu construir um telefrico para ligar o hotel ao cimo de uma montanha de 760 m. Para calcular o comprimento do cabo que sustenta o telefrico, ele mediu o ngulo assinalado na figura: 40}. Qual  o comprimento do cabo? 

<F->
        C
        _
  *x* ^ _ 760 m   
    ^   _          
  ^40} _                       
 j:::::::j  
B      A
<F+>

sen. 40}={a{c{b{c 
 
  Na tabela, vemos que 
 sen. 40}^=0,64. Ento: 

 sen. 40}={a{c{b{c=0,64 
 0,64=760x 
 x=1.187,5. 
<P>
  Portanto, o cabo ter 
 1.187,5 m. 
  Como voc est percebendo, a trigonometria ajuda muito no clculo de comprimentos, alturas, distncias. 

<118>
Atividades 

<R+>
58. No tringulo {a{b{c, mea :{b, ^c?{a{c* e ^c?{b{c*. No tringulo {r{s{t, mea :{s, ^c?{r{t* e ^c?{s{t*. 

<F->
                 S
                  ' 
            C    l
            _    l 
          ^ _    l       
        ^   _    l               
      ^  !::w    r::                    
    ^    l_-_    l_-_              
   j::::::h::j    h::j:::h 
  B        A   R     T
<F+>

a) Quais so as medidas de :{b e :{s?
 b) Calcule as razes {a{c{b{c e {r{t{s{t. 
 c) Existe um bom motivo para que essas razes sejam iguais. Qual? 
 d) Que nome recebe o valor dessas razes?

59. Utilizando a tabela, calcule a medida *x*. 

<F->
  ngulo _ seno   
  :::::::w:::::::
  30   _ 0,50 
  40   _ 0,64 
  50   _ 0,77 
  60   _ 0,87  
  70   _ 0,94 
<F+>

_`[{quatro tringulos retngulos adaptados_`]

a) hipotenusa: 20; cateto 
  maior: *x* e ngulo oposto  
  ao cateto maior: 60}.
 b) hipotenusa: 15; cateto: *x* e ngulo oposto ao cateto *x*: 40}.
<P>
 c) hipotenusa: *x*; cateto 
  maior: 4,7 e ngulo oposto 
  ao cateto maior: 70}.
 d) hipotenusa: *x*; cateto 
  menor: 2,3 e ngulo oposto
  ao cateto menor: 30}.

60. Utilizando a tabela do exerccio anterior, calcule a altura de um escorregador que tem 5 m de comprimento e 50 de inclinao. 
<F->
          A
           $
          _ 
          _ 
   5 m   _
          _
          _
          _  
     50} _      
   -------#
  B      C
<F+>

61. Para ligar um hotel ao cimo de uma montanha, foram necessrios 120 m de cabo telefrico. O ngulo de inclinao do cabo  de 35. Qual  a altura da montanha? `(Para responder, use sen. 35=0,57.`)

<F-> 
                  A
                  _
                ^ _
              ^   _
       120 ^     _ 
          ^       _ *h*
        ^         _ 
      ^           _
    ^ 35}        _
   ccccccccccccccccc
  B              C
<F+>

62. Sabendo que sen. 40=0,64, calcule a altura *h* deste tringulo. 

<F->
        
       _^
   8  _  ^ 8,75
       _ *h*^
       _::   ^              
       __-_ 40}^
  j:::::j::j:::::::h
<F+>
<P>
63. Sabendo que sen. 30=0,5 e sen. 50=0,77, calcule as medidas *h* e *x* deste tringulo. 

<F->
          
         _^
         _  ^
   25   _    ^ *x*
         _ *h*  ^
         _        ^      
         _::       ^              
    50} __-_    30} ^
  j:::::::j::j:::::::::::h
<F+>

<119>
Pensando em casa

64. Com rgua e transferidor, desenhe um tringulo retngulo que tenha um ngulo agudo de 20}. A partir de seu desenho, encontre o valor aproximado de sen. 20}.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

65. Utilizando a tabela, 
  calcule *x*.

<F->
  ngulo _ seno   
  :::::::w:::::::: 
  30   _ 0,50  
  40   _ 0,64  
  50   _ 0,77  
  60   _ 0,87   
  70   _ 0,94  

a)   .   
      l^
      l  ^ 12,5
  *x* l    ^         
      l      ^      
      r::     ^              
      l_-_  40} ^
      h::j:::::::::h

b)   .   
      l^
      l  ^
  *x* l    ^ 3,5         
      l      ^      
      r::     ^              
      l_-_  30} ^
      cccccccccccccc
<P>
c)
             _
           ^ _    
     *x* ^   _ 3,5         
       ^     _                
     ^    !::w                       
   ^ 30} l_-_                
  ccccccccccccc

d)     '
        l
        l 
        l  
  17,4 l    *x*
        l    
        l     
        l      
        r::    
        l_-_ 60}
        v--#------u
<F+>

66. Considere o tringulo {u{a{i com ngulo reto em U. Calcule a medida do lado ^c?{u{a*, sabendo que :{i mede 70}, a hi-
  potenusa do tringulo mede 
  30 cm e sen. 70}=0,94.
<P>
 67. Explique por que o seno 
  de todo ngulo agudo  menor 
  que 1.
 68. Quem atravessa a rua por ^c?{a{b* anda 7 m. E quem a atravessa por ^c?{a{c*, quantos metros anda? (Para responder, use a tabela do exerccio 65.)

_`[{esquema adaptado_`]

<F->
  :{a=50}
  :{c=40}

    l         _
  AccccccpccB
    l     l_-_ 
    l     h::w   
    l        _
    l        _
    l        _
    l        _
    l        _ 
    l        _
    l        _
    l         $C 
    l         _
<F+>

69. Sabendo que sen. 40}=0,64 e sen. 70}=0,94, calcule as medidas *x* e *y*: 
<F->
a)
          A
           
          _^
          _  ^
          _    ^ 
   *x*    _      ^ *y*
          _ 15,04 ^      
          _::       ^              
     70} __-_    40} ^
   j:::::::j::j:::::::::::h
  B      H             C
<P>
b)      A
          
         _^
         _  ^
         _    ^ *x*
         _      ^      
         _::     ^              
    70} __-_       ^
   j::::::j::j:::::::::h
  B     H    *y*    C
  r::::::::::::::::::::w
            5
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<120>
6- Seno, cosseno e tangente 

  Voc j conhece uma das razes trigonomtricas: o seno de um ngulo agudo :{b, que  indicado por sen. B. 
  Alm do seno, so teis duas outras razes trigonomtricas: o cosseno de um ngulo agudo :{b, indicado por cos. B, e a tangente de :{b, indicada por tg. B. 
 Ateno: no confunda a razo 
<P>
trigonomtrica tangente com a reta tangente a uma circunferncia. 

<F->
^c?{b{c*=hipotenusa
^c?{a{c*=cateto oposto
^c?{a{b*=cateto adjacente

            C
            _
          ^ _
        ^   _    
      ^     _         
    ^       _                
  ^ :{b    _                       
 j:::::::::::j  
B          A
<F+>

<R+>
sen. B=cateto oposto a :{b
  hipotenusa 
 cos. B=cateto adjacente a :{b
  hipotenusa 
 tg. B=cateto oposto a :{bcateto adjacente a :{b 
<P>
Exemplos 

<R+>
1. Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ngulo :{b deste tringulo: 

<F->
             C
              
             _
             _ 
             _
             _
      5     _ 4  
             _    
             _              
             _        
          !::w                       
     :{b l_-_           
   j:::::::h::j
  B    3   A
<F+>

  sen. B=45=0,8  
  cos. B=35=0,6 
  tg. B=43=1,333... 
  Agora, consulte a tabela da pgina 307 e responda: quanto mede, aproximadamente, o ngulo :{b? 
 2. Vamos calcular o cosseno e a tangente do ngulo :{e deste tringulo: 

<F->
              C
              _
            ^ _
     7,8 ^   _    
        ^     _ 3         
      ^       _                
    ^ :{e    _                       
   j:::::::::::j  
  E    7,2  D
<F+>

  cos. E=7,27,8^=0,92
  tg. E=37,2^=0,42. 
  Qual  a medida de :{e? 
<R->

<121>
Utilizando o seno, o cosseno e 
  a tangente 

  Veja como podemos encontrar a altura de um edifcio, sem medi-la diretamente. Inicialmente, nos afastamos, por exemplo, 50 m do p do edifcio: {a{b=50 m. Do ponto B, medimos o ngulo assinalado, sob o qual avistamos o prdio. Vamos supor que :{b=42}. 

<F->
           _
         ^ _
       ^   _    
     ^     _ *x*         
   ^    !::w                
 ^ 42} l_-_                       
j::::::::h::j  
     50  
<F+>

  O prdio tem *x* metros de 
 altura.
  Nesse caso, conhecemos o cateto adjacente a 42}, e queremos obter o cateto oposto a 42}. A razo que envolve os dois catetos  a tangente do ngulo: tg. 42=
 =cateto oposto a 42}cateto 
 adjacente a 42} logo,
 tg. 42}=x50.
  Consultando a tabela trigonomtrica da pgina 307, vemos que tg. 42}=0,9. Temos, ento: 0,9=x50 portanto, x=45. 
  A altura do prdio  de 45 m. 

A tabela trigonomtrica 

  Existem tabelas que apresentam os valores de senos, cossenos e tangentes dos ngulos: so as tabelas trigonomtricas. Hoje, existem muitos tipos de calculadora que fornecem esses valores. 

<122>
<F->
Tabela de razes trigonomtricas
:::::::!::::::::!::::::::!::::::::
 ng. l sen.   l cos.   l tg.   
:::::::r::::::::r::::::::r::::::::              
 1}   l 0,02  l 0,999 l 0,02         
 2}   l 0,03  l 0,999 l 0,03
 3}   l 0,05  l 0,999 l 0,05
 4}   l 0,07  l 0,998 l 0,07
 5}   l 0,09  l 0,996 l 0,09
 6}   l 0,10  l 0,99  l 0,11
 7}   l 0,12  l 0,99  l 0,12
 8}   l 0,14  l 0,99  l 0,15
 9}   l 0,16  l 0,99  l 0,16
 10}  l 0,17  l 0,98  l 0,18
 11}  l 0,19  l 0,98  l 0,19
 12}  l 0,21  l 0,98  l 0,21
 13}  l 0,23  l 0,97  l 0,24
 14}  l 0,24  l 0,97  l 0,25
 15}  l 0,26  l 0,97  l 0,27
 16}  l 0,28  l 0,96  l 0,29
 17}  l 0,29  l 0,96  l 0,31
 18}  l 0,31  l 0,95  l 0,32
 19}  l 0,33  l 0,95  l 0,34
 20}  l 0,34  l 0,94  l 0,36
 21}  l 0,36  l 0,93  l 0,38
 22}  l 0,37  l 0,93  l 0,40
 23}  l 0,39  l 0,92  l 0,42
 24}  l 0,41  l 0,91  l 0,45
 25}  l 0,42  l 0,91  l 0,47
 26}  l 0,44  l 0,90  l 0,49
 27}  l 0,45  l 0,89  l 0,51
 28}  l 0,47  l 0,88  l 0,53
 29}  l 0,48  l 0,87  l 0,55
 30}  l 0,50  l 0,87  l 0,58
 31}  l 0,52  l 0,86  l 0,60
 32}  l 0,53  l 0,85  l 0,62
 33}  l 0,54  l 0,84  l 0,65
 34}  l 0,56  l 0,83  l 0,67
 35}  l 0,57  l 0,82  l 0,70
 36}  l 0,59  l 0,81  l 0,73
 37}  l 0,60  l 0,80  l 0,75
 38}  l 0,62  l 0,79  l 0,78
 39}  l 0,63  l 0,78  l 0,81
 40}  l 0,64  l 0,77  l 0,84
 41}  l 0,66  l 0,75  l 0,87
 42}  l 0,67  l 0,74  l 0,90
 43}  l 0,68  l 0,73  l 0,93
 44}  l 0,69  l 0,72  l 0,97
 45}  l 0,71  l 0,71  l 1,00
 46}  l 0,72  l 0,69  l 1,04
 47}  l 0,73  l 0,68  l 1,07
 48}  l 0,74  l 0,67  l 1,11
 49}  l 0,75  l 0,66  l 1,15
 50}  l 0,77  l 0,64  l 1,19
 51}  l 0,78  l 0,63  l 1,23
 52}  l 0,79  l 0,62  l 1,28
 53}  l 0,80  l 0,60  l 1,32
 54}  l 0,81  l 0,59  l 1,38
 55}  l 0,82  l 0,57  l 1,43
 56}  l 0,83  l 0,56  l 1,48
 57}  l 0,84  l 0,55  l 1,54
 58}  l 0,85  l 0,53  l 1,60
 59}  l 0,86  l 0,52  l 1,66
 60}  l 0,87  l 0,50  l 1,73
 61}  l 0,87  l 0,48  l 1,80
 62}  l 0,88  l 0,47  l 1,88
 63}  l 0,89  l 0,45  l 1,96
 64}  l 0,90  l 0,44  l 2,05
 65}  l 0,91  l 0,42  l 2,14
 66}  l 0,91  l 0,41  l 2,25
 67}  l 0,92  l 0,39  l 2,36
 68}  l 0,93  l 0,37  l 2,48
 69}  l 0,93  l 0,36  l 2,60
 70}  l 0,94  l 0,34  l 2,75
 71}  l 0,95  l 0,33  l 2,90
 72}  l 0,95  l 0,31  l 3,08
 73}  l 0,96  l 0,29  l 3,27
 74}  l 0,96  l 0,28  l 3,49
 75}  l 0,97  l 0,26  l 3,73
 76}  l 0,97  l 0,24  l 4,01
 77}  l 0,97  l 0,23  l 4,33
 78}  l 0,98  l 0,21  l 4,70
 79}  l 0,98  l 0,19  l 5,14
 80}  l 0,98  l 0,17  l 5,67
 81}  l 0,99  l 0,16  l 6,31
 82}  l 0,99  l 0,14  l 7,12
 83}  l 0,99  l 0,12  l 8,14
 84}  l 0,99  l 0,10  l 9,51
 85}  l 0,996 l 0,09  l 11,43
 86}  l 0,998 l 0,07  l 14,30
 87}  l 0,999 l 0,05  l 19,08
 88}  l 0,999 l 0,03  l 28,64
 89}  l 0,999 l 0,02  l 57,29
<F+>

<123>
Ao sobre trigonometria 

Medio indireta de alturas 

  Para esta atividade, devem ser formados grupos, cada um munido de uma trena e de um transferidor especial, como o da figura _`[no adaptada_`]. 
  O professor escolhe o alvo a ser medido: o prdio da prpria escola, um das proximidades, ou ento uma rvore alta ou um poste. A seguir, coloca os grupos em pontos diferentes chamados sedes. 
  Ateno! Essas sedes no podem ser muito prximas do alvo escolhido. 
  Cada grupo se colocar em sua sede e, a partir da, medir ngulos e distncias que julgar convenientes. 
  Utilizando essas medidas e a tabela trigonomtrica da pgina 307, cada grupo deve calcular a altura do alvo escolhido. 
  No final, sugerimos que os grupos comparem as alturas que encontraram. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<124>
Atividades

<R+>
70. Considere estes tringulos: 

<F->
         C  F
             '
         _   l
         _   l 
         _   l  
         _   l    
      !::w   r:: 
      l_-_   l_-_  
   j:::h::j   h::j:::h  
  A     B  E     D           

  G
   .   
   l^
   l  ^
   l    ^ 
   r::   ^              
   l_-_     ^
   h::j:::::::h
  H         I
<F+>

  Observe que cos. A={a{b{a{c. Da mesma forma, apresente as razes que correspondem a: 
 a) tg. A 
 b) sen. F
 c) cos. F
 d) tg. G

71. Considerando as indicaes das figuras, calcule tg. 37, tg. 45 e tg. 51. 

<F->
              
            ^_
          ^  _
        ^    _          
      ^      _ 3 cm               
    ^     !::w                       
  ^ 37}  l_-_                
 cccccccccccccc   
      4 cm

             _
           ^ _
         ^   _           
       ^     _ 4 cm               
     ^    !::w                       
   ^ 45} l_-_                
  --------v--#   
     4 cm

             
            _
            _
            _ 
            _
            _ 5 cm
            _    
            _        
            _                
         !::w                       
    51} l_-_           
  j:::::::h::j
      4 cm
<F+>
 
72. Utilizando a tabela trigonomtrica, calcule a medida *x* dos seguintes tringulos: 
<F->
a) 
      .   
      l^
      l  ^
  21 l    ^ 
      l      ^      
      r::     ^              
      l_-_  40} ^
      h::j:::::::::h
           *x*  

b)   
  ' 
  l
  l 
  l  
  l   
  l    
  l      
  l       
  l       
  r::     
  l_-_ 58} 
  h::j:::::::h

c) 
     ' 
     l
     l 
     l  
 *x* l    10
     l20} 
     l     
     r::   
     l_-_    
     h::j:::::h
<P>
d)
  .   
  l^
  l  ^ *x*
  l    ^ 
  r::   ^              
  l_-_ 36}^
  h::j:::::::h
      11,8
<F+>

73. Num tringulo issceles, a base mede 12,6 cm e os ngulos da base medem 65. Use a tabela trigonomtrica para calcular a medida aproximada: 
 a) dos outros lados do tringulo; 
 b) da altura do tringulo relativa  base.

74. Use a tabela trigonomtrica para calcular as medidas aproximadas dos lados deste retngulo _`[no adaptado_`] `({b{d=6; :?{b{d{c*=18`). 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
75. Considere este tringulo retngulo: 

<F->
              B
              
            ^_
      25 ^  _ 7         
        ^    _                
      ^   !::w                       
    ^     l_-_                
   j:::::::h::j   
  C   24   A
<F+>

a) Calcule os valores de 
  sen. C, cos. C e tg. C. 
 b) Use as respostas do item *a* e a tabela trigonomtrica para encontrar a medida aproximada de :{c. 

<125>
76. Nesta figura _`[no adaptada_`], {a{b{c{d  um quadrado com lados de 10 cm e {d{e{f  um tringulo equiltero. Use a tabela trigonomtrica para encon-
<P>
  trar a medida de ^c?{b{g*. 
  Sugesto: calcule antes ^c?{c{f*. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
77. Veja como se pode calcular a largura de um rio sem atravess-lo. Do ponto A fixamos um ponto C da outra margem; depois, caminhamos sobre o segmento ^c?{a{b*, perpendicular a ^c?{a{c*; finalmente, medimos ^c?{a{b* e :{b. 
  Conhecendo as medidas de ^c?{a{b* e :{b, podemos calcular a largura do rio. 

_`[{esquema adaptado_`]

<F->
        C
        _
      ^ _          
    ^   _                       
   j:::::j  
  B    A
<F+>
<P>
  Se ^c?{a{b* medir 20 m e :{b medir 38, qual ser a largura do rio? (Use a tabela trigonomtrica.)

Pensando em casa

78. Use a tabela trigonomtrica para encontrar a medida aproximada de :{b. 

<F->
              C
              _
            ^ _
       5 ^   _    
        ^     _ 1,7         
      ^       _                
    ^         _                       
   j:::::::::::j  
  B          A
<F+>

79. Use a tabela trigonomtrica para calcular a medida *x*, nos seguintes tringulos: 
<P>
<F->
a)
               _
             ^ _
           ^   _
         ^     _ *x*         
       ^       _                
     ^      !::w                       
   ^ 22}   l_-_                
  ccccccccccccccc
        5

b)  '
     l
     l 
     l  
     l   
  9 l     
     l      
     l      
     r::    
     l_-_ 66}
     h::j::::::h
        *x*
<P>
c)
               _
             ^ _
           ^   _
     10 ^     _          
       ^       _                
     ^      !::w                       
   ^ 48}   l_-_                
  j::::::::::h::j
       *x*

d)   .   
      l^
      l  ^ *x*
  14 l    ^ 
      l      ^      
      r::     ^              
      l_-_  34} ^
      h::j:::::::::h
<F+>

80. Com a Trigonometria, pode-
  -se calcular o raio da Terra. Primeiro, procura-se uma montanha prxima ao mar, com altura *h* conhecida. Depois, sobe-se no topo dessa montanha e, olhando por dentro de um canudo de refresco, mira-se a linha do horizonte, onde cu e mar parecem se encontrar. 
  Mede-se ento o ngulo *^a* que o canudo forma com a vertical. Suponha que a altura da montanha seja 600 m e que o ngulo mencionado seja 89. Usando 
  sen. 89=0,9999, calcule a medida do raio da Terra. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

81. Um losango, com lados de 
  10 cm, tem ngulos agudos de 50. Usando a tabela trigonomtrica, calcule as medidas aproximadas das diagonais do losango.
 82. Sabendo que sen. 37=0,6, cos. 37=0,8, sen. 64=0,9 e cos. 64=0,44, calcule as medidas aproximadas dos lados do tringulo {a{b{c. 
<P>

<F->
                   A
                    
                  ^_   
                ^  _   
              ^    _  
            ^      _          
          ^  18 cm_     
        ^          _           
      ^         !::w                    
    ^ 37}      l_-_  64}  
   j:::::::::::::h::j::::::::h
  B               H       C
<F+>

<126>
83. No tringulo {a{b{c da figura, ~:,?{c{s*  bissetriz de :{c. Sabendo que sen. 12=0,21, cos. 12=0,98 e sen. 51=0,78, calcule as medidas aproximadas dos lados do tringulo {a{b{c. 
  :{a=90 
  :{b=12
  ~:,?{c{s*=35 cm 
<P>
<F->
            B
            l
            l
            l
            l
            lS
          ^l
        ^  l
      ^ !::l
    ^   l_-l
   jh:::::h::b
  C        A
<F+>

84. Esta figura _`[adaptada_`] mostra uma praia vista de cima. A praia  a regio da figura abaixo de r, e I  uma ilha. 

<F->
            lI
            l
            l  
            l    
         !::l              
         l_-lP       
  r -----v--v--                 
            l                       
    --------l           
   B       A
<F+>
<P>
  Na praia, medem-se ^c?{a{b*, ^c?{a{p* e :{b. Com esses dados, pode-se calcular a que distncia a ilha est da praia. Sabendo que {a{b=50 m, 
  {a{p=7 m, :{b=68 e que 
  tg. 68=2,48, calcule {p{i. 

Desafios e surpresas

6. No tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`], calcule as medidas da altura ^c?{a{h* e da bissetriz ^c?{a{s*, usando a tabela trigonomtrica. 
  {a{b=10 cm 
  :{b=65} 
  :{c=5} 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
7. Usando a tabela trigonomtrica, calcule o permetro deste trapzio. 

<F->
            A  4 cm  B
            ^cccccccccc
          ^             
  6 cm ^                
      ^                   
    ^ 11}            35} 
   -------------------------u
  D                        C
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<127>
7- Valores exatos do seno, do 
  cosseno e da tangente de 30, 
  45 e 60 

  Para encontrar o valor de sen. 45}, podemos desenhar um tringulo retngulo com um ngulo de 45}; depois medir o cateto oposto e a hipotenusa, e dividir a primeira medida pela segunda. 
<P>

<F->
     .   
     l^
     l  ^
     l    ^ 5
3,6 l      ^        
     l        ^      
     l          ^              
     l       45} ^
     h::::::::::::::h
<F+>

3,65=0,72
 
  Assim, chegaremos a um valor aproximado de sen. 45}. Ele no  um valor exato porque as medidas sempre contm algumas imprecises. 
  Agora, veremos como podem ser obtidos os valores exatos das razes trigonomtricas destes ngulos: 30}, 45} e 60}. 

Seno, cosseno e tangente de 45 

  Vamos considerar um tringulo retngulo com um ngulo agudo de 45}. 
  Observe que os seus ngulos medem: 90}, 45} e 45}. Assim, o tringulo  issceles. 
  Indicaremos por *l* a medida dos lados congruentes, e por *x* a hipotenusa. 
  Depois, basta usar o teorema de Pitgoras. 

<F->
         _
       ^ _          
 *x* ^   _ *l*               
   ^  !::w                       
 ^    l_-_                
j::::::h::j
   *l*
<F+>

l2+l2=x2 
 x2=2l2 
 x=2l2 
 x=l2
 
  Ento: sen. 45}=lx=ll2=
 =12.
  Portanto, sen. 45}=12"
 "22. Concluso: sen. 45}=
 =22;
<128>
cos. 45}=lx=ll2=
 =12. 
  Portanto, 
<127>
cos. 45}=12"
 "22. Concluso: cos. 45}=
 =22; tg. 45}=ll. Portanto: tg. 45}=1. 

Seno, cosseno e tangente de 60} 

  Num tringulo equiltero, com lados de medida *l*, vamos traar a altura *h*. 

<F->
             A
              
             _
             _  
             _  
             _   
     *l*     _     *l*
         *h* _      
             _       
             _       
          !::w        
     60} l_-_         
   j:::::::h::j::::::::::h
  B   l2  H         C
<F+>
<P>
  Sabemos que a altura *h* divide o lado ^c?{b{c* ao meio e que h=l32. Assim, no tringulo retngulo {a{h{b, temos: 

 sen. 60}=hl=??l3*2*~l 
  logo: sen. 60}=32; 
 cos. 60}=?l2*~l=12 
  logo: cos. 60}=12; 
 tg. 60}=hl2=??l3*2*~
  ~?l2*=3 logo: 
  tg. 60}=3. 
 
Seno, cosseno e tangente de 30 

  No tringulo retngulo {a{h{b da figura anterior, um ngulo mede 60}; logo, o outro ngulo agudo mede 30}. 
<P>

<F->
           A
            
           _
           _  
           _  
           _   
   *l* 30}_     *l*
           _      
       *h* _       
           _       
        !::w        
        l_-_         
 j:::::::h::j::::::::::h
B   l2  H         C
<F+>

<129>
  Nesse tringulo retngulo, 
 temos: 

sen. 30}=?l2*~l=12 logo: 
  sen. 30}=12; 
 cos. 30}=hl=??l3*2*~l 
  logo: cos. 30}=32; 
 tg. 30}=?l2*~h=
  =?l2*~??l3*2*=
  =13=33 logo: 
  tg. 30}=33.
 
Resumo: 

<F->
ng. _ sen.   _ cos.   _ tg.    
:::::w::::::::w::::::::w::::::::
30} _ 12  _ 32_ 33
45} _ 22_ 22_ 1     
60} _ 32_ 12  _ 3   
<F+>

Trigonometria: histrico e 
  aplicaes 

  Nos ltimos itens voc estudou trigonometria. Voc deve ter notado que esse conhecimento nasce da semelhana de tringulos e tem vrias aplicaes, servindo para medir comprimentos inacessveis, tais como largura de rios, altura de montanhas ou distncias entre planetas. 
  O astrnomo e matemtico grego Hiparco, que viveu cerca de um sculo antes de Cristo,  considerado "o pai da trigonometria". Ele construiu tabelas trigonomtricas muito precisas e, com base nelas, obteve diversas medidas astronmicas.  claro que Hiparco no inventou a trigonometria do nada. A ideia de usar razes relacionadas a ngulos j havia aparecido, algumas vezes, em trabalhos de matemticos gregos anteriores a ele. Parece que at no Egito antigo e na civilizao da Babilnia, cerca de 1.500 anos antes, alguns sbios tinham ideias desse tipo. 
  A trigonometria no terminou com Hiparco. Muito tempo de-
 pois, nos sculos XVI, XVII e XVIII, ela teve grande desenvolvimento e, alm de aplicaes em Engenharia, acabou sendo til no estudo da eletricidade, do som etc. Voc ter noes dessa trigonometria mais avanada quando for aluno do Ensino Mdio. 

<130>
Atividades

<R+> 
85. Calcule a medida da diagonal *d* do retngulo da figura, supondo que o ngulo *x* tenha esta medida: 

<F->
  qccccccccccccccc
  l^             _
  l  ^           _            
  l    ^ *d*     _            
  l      ^       _
  l        ^     _
  l          ^   _
  l        *x* ^ _
  v--------------#
        6
<F+>

a) 30
 b) 45
 c) 60 

86. Calcule as medidas das diagonais de um losango com lados de 12 cm, no caso em que dois de seus ngulos medem: 
 a) 60}
 b) 90}

87. Num tringulo issceles, a base mede 8 cm e os ngulos da base, 30. Quanto medem os dois lados que so congruentes?
<P>
 88. Neste livro, procuramos mostrar a utilidade da trigonometria na resoluo de problemas. Cite dois problemas, dentre os que voc j fez, que mostram essa utilidade. Diga o que  calculado no problema.

Pensando em casa 

89. Calcule a medida *x* do lado destes tringulos retngulos:
<F->
a)
               _
             ^ _
           ^   _
         ^     _ *x*         
       ^       _                
     ^      !::w                       
   ^ 45}   l_-_                
  j::::::::::h::j
        8
<P>
b)
            l
            l
            l
            l 
            l *x*
            l 
            l 
            l                
         !::l                       
    60} l_-l           
  j:::::::h::b
       2
<F+>

90. Considere o tringulo 
  retngulo {a{b{c. Sabendo 
  que h=3 cm, d a medida de
  *b*, *c*, *m* e *n*. 

<F->
              A
              _
            ^ _ 
      *c* ^   _   *b*       
        ^     _*h*
      ^    !::w                  
    ^ 30} l_-_     
   j::::::::h::j::::::h
  B   *m*    H *n* C
<F+>
<P>
91. Um navegador v um penhasco sob um ngulo de 30}. Avanando 450 m em direo ao penhasco, esse ngulo passa a ser de 60}. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

a) O tringulo {n{a{m  issceles. Por qu? 
 b) Calcule a distncia do navegador at o penhasco na segunda figura. 
 c) Calcule o valor aproximado da altura {a{b do penhasco.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

92. Baseado nos exerccios que voc j resolveu neste livro, d um exemplo da utilidade prtica da trigonometria. 

<131>
<P>
_`[{para as atividades 93 e 94, pea orientao ao professor_`]

93. Esta figura _`[no adaptada_`]  formada por trs tringulos retngulos. Sabendo que ^c?{a{b* mede 3 cm, calcule a medida de ^c?{a{e*. 
 94. Esta figura _`[no adaptada_`]  formada por trs tringulos retngulos que tm ngulos agudos de 30}. Sabendo que ^c?{b{c* mede 3 cm, calcule a medida de ^c?{d{e*. 

Desafios e surpresas

8. Nesta figura _`[no adaptada_`], os ngulos assinalados medem 30}, 45} e 60}. Sabendo que ^c?{a{b* mede 5 cm, calcule as medidas de ^c?{a{c* e ^c?{a{d*. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

9. Calcule a medida de *x*. 

<F->
       
        ^
 *x*      ^ 6 cm
            ^
   60}  45} ^
  --------------"
<F+>

10. Na figura _`[no adaptada_`], o tringulo {a{b{c  equiltero, com lados de 7 m. Uma pessoa sai do ponto P e caminha perpendicularmente a ^c?{a{c*, at Q; a seguir, vai, perpendicularmente a ^c?{a{b*, at R; finalmente, ela vai, perpendicularmente a ^c?{b{c*, at S. Chegando a S, a que distncia ela estar do ponto P, de onde partiu? 
<R-> 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
               ::::::::::::::::::::::::

<132>
8- Polgonos regulares inscritos 
  na circunferncia 

Tringulo equiltero 

  Considere o tringulo equil-
 tero {a{b{c _`[no adaptado_`] inscrito numa circunferncia de centro O. 
  Cada ngulo central mede: 360}3=120}. 
  O segmento que liga O ao ponto mdio M de um lado do tringulo {a{b{c chama-se aptema. Como {o{b{c  um tringulo issceles, ^c?{o{m*  altura, mediana e bissetriz desse tringulo. 
  ^c?{o{b*  raio da circunferncia. 
  ^c?{o{m*  aptema do tringulo. 
  ^c?{m{b*  metade do lado do tringulo. 
  Agora, suponha que a medida do raio  1 m e que desejamos calcular a medida do lado do tringulo equiltero, que indicaremos por l3. Naturalmente, vamos usar o 
<P>
tringulo {o{m{b e alguma trigonometria. Veja:

sen. 60}=?l32*~r=
  =?l32*~1=l32 
  logo, 32=l32. 

  Portanto: l3=3 m.
  Se quisermos calcular o aptema a3, basta pensar em cos. 60}. 
  Ateno: se *r* tiver medida diferente de 1 m, l3 ter outra medida,  claro. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<133>
Quadrado 

  Considere o quadrado {a{b{c{d _`[no adaptado_`] inscrito numa circunferncia de centro O. 
  Cada ngulo central mede: 360}4=90}. 
  Agora, observe o tringulo {o{m{c _`[no adaptado_`]. Nele, podemos calcular o lado do quadrado l4 e o aptema a4.
  Vamos obter l4 e a4 em funo de *r*: sen. 45}=?l42*~r ento: 22=l42r logo: l4=r2; cos. 45}=a4r 
 ento: 22=a4r logo: a4=r22. 
  Observe que aqui obtivemos frmulas para l4 e a4. Isto , os resultados valem para qualquer valor da medida *r*. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Hexgono regular 

  Considere o hexgono regular {a{b{c{d{e{f _`[no adaptado_`] inscrito numa circunferncia de centro O. 
  Cada ngulo central mede: 360}6=60}. 
<134>
  Indicamos o lado do hexgono por l6 e o aptema por a6. 
 Imagine que r=3 m e vamos calcular l6. sen. 30}=?l62*~r=
 =?l62*~3=l66=12=
 =l66 logo, l6=62 e conclumos: l6=3 m. 
  Notou que l6  congruente ao raio? Se, depois, quisermos calcular a6, basta pensar em cos. 30}. 

Ateno!

  Neste item, mostramos como calcular aptemas e lados de alguns polgonos regulares inscritos em uma circunferncia. 
  Exceto no caso do quadrado, no apresentamos frmulas para calcular essas medidas, j que elas tm pouco uso. O importante  ter uma ideia dos mtodos usados para fazer esses clculos. Isso basta para fazer as prximas atividades. 
  Basta tambm para cursar o 
 Ensino Mdio, pois mesmo quem esquece o assunto consegue recu-
<P>
 per-lo com facilidade se houve compreenso no momento do aprendizado. 

Atividades 

<R+>
95. Uma circunferncia tem raio de 10 cm. Calcule a medida do aptema dos seguintes polgonos regulares inscritos nessa circunferncia: 
 a) tringulo; 
 b) quadrado; 
 c) hexgono.

96. Considere um hexgono regular inscrito em uma circunferncia de raio *r*. Calcule l6 e prove que l6=r. 

_`[{para as atividades de 97 a 99, pea orientao ao professor_`]

97. Na figura _`[no adaptada_`], {a{b{c  um tringulo equiltero, O  o centro da circunferncia e {o{a=7 cm. 
  Determine: 
 a) o ngulo :?{a{o{b*;
 b) a medida de ^c?{a{b*; 
 c) a distncia de O at ^c?{a{b*. 

<135>
98. Veja um hexgono regular inscrito na circunferncia de centro O. Calcule o permetro: 

_`[{figura no adaptada_`]

a) do hexgono; 
 b) do tringulo {o{a{b; 
 c) do tringulo {a{e{c. 

99. Na figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{b* tem a medida dos lados de um hexgono regular inscrito na circunferncia; ^c?{b{c* tem a medida dos lados do quadrado inscrito. Sabendo que essa 
  circunferncia de centro O tem 1 cm de raio, calcule as medidas de: 
 a) ^c?{a{b*; 
 b) ^c?{b{c*; 
 c) :?{a{o{b*; 
 d) :?{b{o{c*;
 e) :?{a{b{c*. 

Pensando em casa

_`[{para as atividades 100 e 101, pea orientao ao professor_`]

100. Na figura _`[no adaptada_`], {x{i{c{a  um quadrado, O  o centro da circunferncia e {o{a=7 cm. Determine: 
 a) o ngulo :?{o{a{c*
 b) o permetro do quadrado {x{i{c{a. 

101. Na figura _`[no adaptada_`], O  o centro da circunferncia. Quanto mede ^c?{o{x*? 
 102. Um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia tem lados de 3 cm. Quanto mede o raio da circunferncia?
 103. Um hexgono regular inscrito numa circunferncia tem aptemas de 3 cm. Quanto mede o raio da circunferncia?
<P>
104. Na figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{b* tem a medida dos lados de um hexgono regular inscrito na circunferncia; ^c?{b{c*, a dos lados de um quadrado inscrito; ^c?{c{d*, a de um tringulo equiltero inscrito e ^c?{a{d*, 42 cm. 
 a) Prove que ^c?{a{d*==^c?{b{c*. 
 b) Calcule as medidas de ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{c{d*. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<136>
9- Comprimento da circunferncia 

  Na Antiguidade, os matemticos j se perguntavam: o comprimento de uma circunferncia  quantas vezes o seu dimetro? 
  Eles perceberam que duas circunferncias quaisquer tm a mesma forma e, por isso, so figuras semelhantes. Assim, concluram que a razo entre o comprimento da circunferncia e o seu dimetro  sempre o mesmo nmero. Esse nmero foi indicado pela letra grega ^p `(pi`).
  Assim, sempre temos C=^pd. Como d=2r (o dimetro  o dobro do raio), podemos escrever tambm: C=2^pr. 
  O nmero ^p  um nmero irracional: ^p=3,14159265... 
  Mas como encontrar esse valor de ^p? A ideia bsica  considerar polgonos regulares inscritos na circunferncia, cada vez com um nmero maior de lados. 
  Desse modo, o permetro do polgono vai se aproximando do comprimento da circunferncia. 
<137>
<R+>
  No tringulo equiltero, temos l3=r3; logo, seu permetro  3l3=33r^=5,2r=2,6d.
  No quadrado, temos l4=r2; logo, seu permetro  4l4=
  =42r^=5,7r=2,85d.
<P>
  No hexgono regular, temos l6=r; logo, seu permetro  6l6=6r=3d. 
  No decgono regular, o permetro  aproximadamente 3,09d. 
<R->
  Observe os permetros que obtivemos: 2,6d; 2,85d; 3d e 3,09d. Continuando a aumentar 
 o nmero de lados, o permetro 
 do polgono regular se aproximar de ^pd. 
  Assim, obtm-se valores cada vez mais prximos de ^p. Nos nossos clculos, usaremos para ^p o valor de 3,14. 

Exemplo 

  O comprimento da circunfe-
 rncia com raio de 7 cm : C=2^pr^=2'3,14'7 cm=
 =43,96 cm.
<P>
Atividades 

<R+>
105. Determine o comprimento desta circunferncia. 

_`[{desenho de uma circunferncia com r=1,7 cm_`]

106. Calcule a medida do raio de uma circunferncia que tem 18,84 cm de comprimento.
 107. Calcule a medida aproximada do raio da Terra, sabendo que a Linha do Equador tem cerca de 40.000 km de comprimento. 
 108. Calcule o comprimento *x* do arco ^:?{a{b*, determinado por um ngulo central de 60}, numa circunferncia com raio de 6 cm. 
  Resoluo: 
  Observe que, numa circunferncia, a medida de um arco  proporcional  medida do ngulo central que o determina. Quando o ngulo central duplica ou tri-
  plica, o mesmo acontece com o comprimento do arco correspondente. 
<138>
  Por isso, temos a seguinte regra de trs: medida de ^:?{a{b*2^pr=:?{a{o{b*360} 
  x2^p6=60}360}
  x2^p6=16
  x=2^p66=2^p 
  x^=6,28 cm.

109. Nesta circunferncia de centro O, calcule o compri-
  mento: 

_`[{desenho de uma circunferncia com ngulo central igual a 45} e r=3 cm_`]

a) da circunferncia; 
 b) do arco ^:?{a{b*. 

110. No relgio da torre de uma igreja, o ponteiro grande mede 1,5 m. Em 20 minutos, a ponta 
  desse ponteiro percorre quantos metros? 
 111. O Segundo Livro de 
  Crnicas, que faz parte da Bblia, foi escrito h cerca 
  de 3.000 anos. Esse livro conta que o rei Salomo mandou fabricar um tanque circular de bronze que tinha 10 cvados de dimetro e 30 cvados de comprimento. `(O cvado era uma unidade de medida de comprimento usada na poca.`) Com essas informaes, diga qual era o valor usado para ^p naquele tempo.
 112. O valor de ^p, at a oitava casa decimal,  3,14159265... Arquimedes, brilhante matemtico grego do sculo III a.C., usava, para ^p, o valor 3#,g. O valor de ^p usado por 
  Arquimedes era correto at que casa decimal?
 113. Num motor, h duas polias ligadas por uma correia. Assim, quando a polia de centro O1 gira, a correia faz girar tambm a de centro O2. Sabendo que as duas polias tm raios de 
  10 cm, e que a distncia entre seus centros  de 40 cm, calcule o comprimento da correia.
<P>
Pensando em casa 

114. Uma circunferncia tem 12,56 cm de comprimento. 
 a) Qual  a medida do seu raio? 
 b) Qual  o permetro do hexgono regular inscrito nessa circunferncia?

115. A diferena entre os comprimentos de duas circunferncias  de 25 cm. Qual  a diferena entre os seus raios? 

_`[{para as atividades 116 e 117, pea orientao ao professor_`]

<139>
116. Observe como se fabrica o cilindro de lata que contm o leo Arrisco:

_`[{cinco figuras no adaptadas_`]

  Qual  o raio do crculo da 
  base?
 117. Rolamos a circunferncia da figura sobre a reta *r*, at completar uma volta. Que distncia essa circunferncia percorreu sobre a reta? 

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

118. O pneu de um carro tem 
  62 cm de dimetro. 
 a) Calcule o comprimento da circunferncia dessa roda. 
 b) Quantas voltas, aproximadamente, d essa roda quando se percorre 1 km?

119. Uma praa circular tem dimetro de 50 m. Na praa, foram feitos quatro jardins, como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Cada jardim corresponde a um ngulo central de 30}. Qual  o comprimento total da cerca dos jardins? 

_`[{um menino e um professor conversam. O aluno diz: "Para fabricar um cilindro, convm o ^p. Quem diria!". O professor conclui: " verdade. Mas o ^p tem vrias outras aplicaes na Matemtica."_`]

<140>
Desafios e surpresas

11. As trajetrias dos planetas em torno do Sol so elipses. Mas, no caso da Terra, essa elipse  quase uma circun-
  ferncia. A distncia mdia 
  da Terra ao Sol  de 150.000.000 km. 
 a) Calcule o comprimento aproximado da rbita da Terra, ou seja, a distncia que, em um ano, a Terra percorre no espao. 
 b) Calcule agora a velocidade com que a Terra se desloca no espao. 
 
_`[{uma menina e um rapaz conversam. A menina pergunta: "Conhecendo o valor de ^p, pode-se calcular o comprimento aproximado da rbita da Terra?". O rapaz responde: "Sim, e tambm a 
<P>
  velocidade com que a Terra se desloca nessa rbita!"_`] 
<R-> 

               oooooooooooo

<141>
<P>
Captulo 5 -- Geometria e
  medidas: reas e volumes

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

<142>
1- rea do retngulo e rea do
  quadrado 

  A rea  a medida de uma superfcie. 
  J vimos que: 
<R+>
  a rea de um retngulo  o produto das medidas do comprimento pela da largura; 
  a rea de um quadrado  o quadrado da medida de um lado. 
<R->
  No retngulo, costuma-se chamar um dos lados de base e o outro de altura. 

<F->
pccccccc altura *h*
v-------#
  base *b*
<F+>

  Considerando *b* e *h* como as medidas da base e da altura, e Ar a rea do retngulo, generalizamos: Ar=b"h.

Exemplos 

<R+>
1. Para calcular a rea deste polgono no convexo, vamos dividi-lo em dois retngulos (as medidas esto indicadas em centmetros): 

<F->
               I 10 L
                _cccccc
                _      _
                _      _
     A  20  T_      _
      !:::::::::j      _ 25
      l         {      _
  10 l         {      _
      l         {      _
      h::::::::::::::::j
     M        E     D
<F+>
<P>
  A{m{a{t{i{l{d=A{m{a{t{e+
  +A{i{l{d{e
  A{m{a{t{i{l{d=20'10+10'25
  A{m{a{t{i{l{d=450 cm2.

2. Nesta figura, em que temos o retngulo {a{r{t{e, vamos calcular a rea do tringulo {a{t{e. 

<F->
        A   24 mm   R  
         qccccccccccccc
         l^           _
         l  ^         _            
  16 mm l    ^       _            
         l      ^     _
         l        ^   _
         l          ^ _
         v------------#   
        E            T
<F+>
 
  A rea do retngulo {a{r{t{e  `(16 mm`)'`(24 mm`)=384 mm2. Como a diagonal divide o retngulo em dois tringulos congruentes, temos: A{a{t{e=
  =A{a{r{t{e2=384 mm22=
  =192 mm2. 

<143>
Atividades

1. Usando um dos quadrados que formam este quadriculado _`[no adaptado_`] como unidade de rea, encontre a rea de cada regio assinalada: 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

2. Calcule a rea de um retngulo de: 
 a) base 1,2 m e altura 3,5 m; 
 b) base 2 m e altura 3 m.

3. Calcule a rea destes polgonos no convexos, sabendo que suas medidas esto indicadas em centmetros. 
<P>
<F->
a)
                 20
             $:::::!::
             __-_   l_-_
             _::j   h::w
             _         _
             _         _
             _         _
             _         _
             _         _ 
             _         _ 40
             _         _
      !:::::j         _
      l_-_             _
      r::j             _
  15 l                _
      r::          !::w
      l_-_          l_-_
      h::j::::::::::h::j
             30
<P>
b)
                         5
                    $::::::::
                    _        _
                    _ 4     _
               5   _        _
           $::::::::j        _
           _                 _
           _ 4              _
       5  _                 _ 
   !:::::::j                 _
4 l                         _  
   r::                   !::w
   l_-_                   l_-_
   h::j:::::::::::::::::::h::j
<F+>

4. No retngulo {b{o{l{a, a base ^c?{b{o* tem 5 cm e a altura ^c?{o{l*, 9 cm. Calcule a rea: 
 a) do retngulo; 
 b) do tringulo {b{o{l.
<P>
5. Na figura _`[no adaptada_`], os dois quadrilteros so 
  quadrados. Obtenha a rea da regio colorida. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

6. A. I. Malandrn, importante personalidade de um pas sul-
  -americano, mandou pintar seu retrato. O retrato  retangular e as dimenses esto marcadas na figura. 

_`[{figura adaptada_`]
 Legenda: 
  A- quadro todo: 3,5 m por 5 m 
  B- retrato: 3 m por 4,5 m
<P>
<F->
  !::::::::::::::
  l              _ 
  l pcccccccccc _
  l l          _ _
  l l          _ _
  l lB        _ _
  l v----------# _
  lA            _ 
  h::::::::::::::j
<F+>

a) Que rea ocupa o quadro todo? 
 b) Sem moldura, que rea ele ocupa? 
 c) Qual  a rea da moldura? 

7. Voc sabe: 1 m=100 cm. Mas 1 m2 no  igual a 100 cm2. Voc ver por que respondendo s questes. 
 a) Qual  a rea, em centmetros quadrados, de um quadrado com lado de 100 cm? 
 b) Qual  a rea, em metros quadrados, de um quadrado com lado de 1 m? 
<P>
 c) Com base nas respostas 
  anteriores, descubra quantos 
  centmetros quadrados equivalem a 1 m2.

8. Considere uma sala retangular com lados de 3 m e 4,5 m. Para ladrilhar essa sala com ladrilhos quadrados de 15 cm de lado, quantos ladrilhos so necessrios?
 9. O teorema de Pitgoras 
  pode ser enunciado falando-se 
  em reas: a rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa 
   igual  soma das reas dos quadrados construdos sobre 
  os catetos. A figura _`[no adaptada_`], na qual todos os quadradinhos tm o mesmo tamanho,  um exemplo do teorema de Pitgoras. Explique por qu. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<144>
Pensando em casa

10. Cada linha desta tabela apresenta certas medidas de um retngulo. Quais so os valores de *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, *f* e *g*?

_`[{tabela adaptada em 4 colunas_`]

  1 coluna: base cm
  2 coluna: altura cm
  3 coluna: permetro cm
  4 coluna: rea cm2

<F->
  1 l 2 l 3 l 4
  ::::r:::::r:::::r::::
  1  l 9  l 20 l 9
  2  l 8  l 20 l a
  3  l b   l 20 l c
  4  l d   l 20 l e
  5  l f   l 20 l g
<F+>

11. As sentenas seguintes referem-se ao trapzio {b{r{a{l. O que se deve escrever no lugar 
  de ...?


<F->
         B          R
         pccccccccccc
         l           _ 
         l           _  
         l           _   
         r::     !::w    
         l_-_     l_-_     
   ------v--#-----v--#------u
  L     I          S     A
<F+>

a) A{b{r{a{l=A{b{l{i+
  +A{b{r{s{i+...
 b) A{b{r{a{i=A{b{r{a{l-... 

12. Com dois tringulos congruentes ao tringulo T, eu formo o quadrado Q. Com 4 tringulos congruentes a T, eu formo o tringulo T. Com dois tringulos congruentes a T, eu formo o quadrado Q.

_`[{desenhos de tringulos e quadrados no adaptados_`]
<P>
  Diga qual  a rea: 
 a) do quadrado Q; 
 b) do tringulo T;
 c) do tringulo T;
 d) do quadrado Q.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

13. A rea deste retngulo  19 cm2. Determine *x*. (As medidas esto em centmetros.) 

<F->
  !:::::::::::
  l           _
  l           _ x-6
  l           _
  h:::::::::::j 
     x+6 
<F+>

14. Responda: 
 a) Qual  a rea, em metros quadrados, de um quadrado com 1.000 m de lado? 
 b) Qual  a rea, em quilmetros quadrados, de um quadrado com 
  1 km de lado? 
 c) Quantos metros quadrados equivalem a 1 km2?

15. Um quadrado tem lados de 3,5 m. Calcule a rea dele em:
 a) m2;
 b) cm2.
 
16. Certos leos de cozinha tm embalagens com a forma de um paraleleppedo retangular. Quantos centmetros quadrados de 
  lata tem a embalagem indicada na figura? (Paraleleppedo retangular  uma figura espacial com todas as faces retangulares.) 

_`[{desenho de uma lata de leo 
  com as seguintes dimenses: 
  9 cm"6 cm"17 cm_`]

17. Veja um desenho encontrado em ladrilhos chineses feitos muito antes de Pitgoras nascer. A figura _`[no adaptada_`]  formada por tringulos todos congruentes entre si. Explique por que esse desenho pode servir como exemplo do teorema de 
  Pitgoras. Os tringulos que formam essa figura so tringulos retngulos e issceles. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<145>
2- rea do paralelogramo e rea 
  do tringulo 

rea do paralelogramo 

  Considere um paralelogramo com as seguintes medidas: base *b* e altura *h*. Podemos "complet-lo" para obter um retngulo. Veja: 

<F->
    ccccccccccccccccm
                    
        P          
                    
----------------  
       *b*            

pccccccmccccccccccccccccm
l_-_                   _
r::j                   _
lT1                  _
l                      _ *h*
l                  T2_
l                   !::w
l                   l_-_  
--------------------v--#   
      *b*           *x*

pcccccccccccccccccccccccc
l                        _
l                        _
l                        _
l          R            _ *h*
l                        _
l                        _
l                        _  
v------------------------#   
          b+x
<F+>

<R+>
 A rea de R  `(b+x`)"h. 
  Como os tringulos T1 e T2 formam um retngulo, a rea dos dois juntos  x"h. 

<F->
     *x*
  pccccccm
  l_-_   _
  r::j   _
  lT1  _
  l      _ *h* 
  l  T2_
  l   !::w
  l   l_-_  
  ----v--#
     *x* 
<F+>

  A rea de P  igual  rea de R menos as reas de T1 e T2. 
  Assim, temos: Ap=`(b+x`)"h-x"
  "h=bh+xh-xh=bh. 
<R->

  A rea do paralelogramo  o produto das medidas da base pela da altura: Ap=b"h.
<P>
Exemplo 

<F->
              6 cm
        ccccccccccccccccm
                       {
                       {
                       {
              5 cm    { 4 cm
                   T2{
                    !::w
                    l_-{  
----------------v#   
                   3 cm
<F+>

  A rea desse paralelogramo : 
 Ap=b"h=6 cm"4 cm 
 Ap=24 cm2. 

rea do tringulo 

  Considere um tringulo qualquer {a{b{c, de medidas: base *b* e altura *h*. 
<P>
<F->
              A                 
              _
            ^ _ 
          ^   _         
        ^ *h* _   
      ^       _          
    ^         _::                
  ^           __-_   
 j:::::::::::::j::j::::h
B                    C
 r:::::::::::::::::::::w
           *b*
<F+>

<146>
  Traando por A a paralela 
 a ^c?{b{c*, e por C a paralela 
 a ^c?{a{b*, obteremos um paralelogramo. 
<F->
            A                  P
            {cccccccccccccccccm
          ^ {               ^
        ^   {             ^
      ^ *h* {           ^
    ^       {::      ^         
  ^         {_-_    ^
 -----------#--#---u^                      
B                 C
 r::::::::::::::::::w
         *b*
<F+>
<P>
  A rea do paralelogramo {a{b{c{p  b"h. 
  Como esse paralelogramo  
 formado pelos tringulos {a{b{c 
 e {a{c{p, que so congruentes, 
 temos: Atringulo {a{b{c=
 =#,b"A{a{b{c{p=#,b"b"h.

  A rea do tringulo  a metade do produto das medidas da base pela da altura: Atringulo {a{b{c=
 =?b"h*2.  

Exemplos 

  Vamos calcular a rea dos seguintes tringulos: 

<F->
              _
            ^ _ 
          ^   _         
        ^     _   
      ^ 4 cm _          
    ^         _::                
  ^           __-_   
 j:::::::::::::j::j::::h                      
         5 cm
<F+>

Atringulo=?b"h*2=?5"4*2
 Atringulo=10 cm2

<F->
               '                  
             ^_ 
           ^  _
         ^    _
       ^      _ 3 cm         
     ^        _                
   ^       !::w                       
 ^         l_-_                
j:::::::::::h::j
      5 cm
<F+>

Atringulo=?b"h*2=?5"3*2
 Atringulo=7,5 cm2

<147>
Um problema curioso 

  Voc sabe que o clculo de reas tem as mais variadas aplicaes em compra e venda de terras, construo de casas etc. Vamos mostrar uma aplicao relacionada  agricultura. Imagine que agricultores tenham constatado que, ao plantar certas mudas, cada uma deve ter distncia de 1 m da outra. Voc pode pensar que a plantao ficar assim: 

_`[{figura no adaptada_`]

  Mas um conhecedor de geometria perceberia que h outra disposio possvel, usando tringulos equilteros. Assim: 

_`[{figura no adaptada_`]

  Qual dessas disposies  mais econmica? Qual usa menos rea para o mesmo nmero de mudas? 
  Pense nessa situao. Nas atividades, proporemos uma questo a respeito. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<148>
<P>
Atividades 

<R+>
18. Calcule a rea desta figura: 

<F->
               20 cm
          -------------------'
         k                 
         k                
10 cm   k 8 cm          10 cm
         k              
         r::          
         k_-_         
   ------v--#--------
           20 cm
<F+>

_`[{para as atividades 19, 20 e 21, pea orientao ao professor_`]

19. {p{a{r{s  um quadrado com lados de 8 cm, e I  seu centro. Obtenha a rea da regio colorida `({p{a{r{i{s`). 
 20. Foram traadas as diagonais do retngulo {a{b{r{i _`[no adaptado_`]. Calcule as reas dos quatro tringulos formados. 
<P>
 21. Encontre a rea deste pentgono _`[no adaptado_`]. (As medidas esto em milmetros.) 

22. Voc sabe que um tringulo equiltero de lado *l* tem altura h=?l3*2. 
  Utilize esse fato para calcular a rea: 
 a) do tringulo equiltero {l{e{o; 

<F->
   LecccccccccciO
      e        i
       e      i
  4 cm e    i
         e  i
          ei
          E
<F+>

b) do hexgono regular {m{a{r{c{e{l. 
<P>
<F->
         M          A 
         ieccccccccccie
        i  e        i  e
       i    e      i    e
      i      e    i      e
     i        e  i        e
  Li::::::::::ei::::::::::eR 
     e         ie         i
      e       i  e       i
       e     i O e     i
        e   i      e   i
         e i        e i
          e::::::::::i   
         E  4 cm  C
<F+>

23. _`[{use a calculadora_`] Releia o subttulo Um problema curioso, na pgina 376. Depois, calcule a rea ocupada por quatro mudas em meio  plantao nos seguintes casos: 
 a) as mudas formam uma malha de quadrados; 
 b) as mudas formam uma malha de tringulos equilteros (a rea corresponde a um paralelogramo; voc pode usar trigonometria para obter sua altura). 
 c) Qual  a disposio mais econmica em termos de rea? Aproximadamente, de quanto por cento  a economia? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<149>
Pensando em casa

24. Calcule as reas em cm2 destas figuras, mas, antes, utilize o teorema de Pitgoras para encontrar as medidas desconhecidas. (medidas em cm) 
<F->
a)
           *x*
     pccccccccccc
     l_-_       ^ _
     r::j     ^   _            
  5 l  13 ^     _ 5           
     l    ^       _
     l  ^      !::w
     l^        l_-_
     ----------v--#   
           *x*

b)         '
           k
           k  
           k  
     5    k    5
           k     
       *x* k      
           k      
           r::    
           k_-_     
  j:::::::::h::j::::::h
                2
<F+>

25. Calcule as reas das figuras a seguir, mas, antes, utilize as razes trigonomtricas para encontrar as medidas desconhecidas. `(medidas em cm`) 
<F->
a)
          '-------------------'
         k                  
         k                 
    5   k *h*             
         k               
         r::           
    60} k_-_          
   ------v--#---------
            8
b)
          '
         k^
         k  ^
         k    ^ 7 
         k *h*  ^
         k        ^      
         r::       ^              
         k_-_    30} ^
  j:::::::h::j:::::::::::h
                10
<F+>

26. (Saresp) O piso de uma varanda  feito com ladrilhos quadrados de dois tamanhos. A medida do lado do ladrilho maior  o dobro da medida do lado do ladrilho menor. Considere as afirmativas. 
 A. O permetro do ladrilho maior  o dobro do permetro do ladrilho menor. 
 B. O permetro do ladrilho maior  o qudruplo do permetro do ladrilho menor. 
 C. A rea do ladrilho maior  o dobro da rea do ladrilho menor. 
 D. A rea do ladrilho maior  o triplo da rea do ladrilho 
  menor. 
   correta apenas a alternativa: 
 a) A
 b) B
 c) C
 d) D

27. Obtenha a medida da base 
  e da altura de um tringulo, 
  sabendo que sua rea  de
  20 cm2 e que a base tem 
  3 cm a mais do que a altura.
 28. Calcule a rea deste trapzio em cm2. (medidas em cm) 

<F->
       A          I
        -------------        
       l           _^
       l           _  ^
       l        4 _    ^
       l           _      ^
       r::     !::w        ^
       l_-_     l_-_          ^
 ------v--#-----v--#------------u
R  1 O    3    C    5     K
<F+>

29. Pode-se calcular a rea 
  de tringulos deste modo: Atringulo {a{b{c=
  =?b"c"sen. A*2. 
  Prove que essa frmula  verdadeira. 

<F->
          B
           '
          k^
          k  ^
    *c*   k    ^  
          k *h*  ^
          k        ^      
          r::       ^              
          k_-_    30} ^
   j:::::::h::j:::::::::::h
  A       *b*           C
<F+>

30. Os tringulos T1 e T2 so semelhantes e cada lado de T1 mede o dobro do lado correspondente de T2. Prove que a rea de T1  quatro vezes a de T2. 

<150>
<P>
Desafios e surpresas 

_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

1. Este tringulo tem rea igual a 84 cm2. Calcule o raio da circunferncia. 
  Sugesto: trace o segmento ^c?{a{o* e os raios com extremos nos pontos de tangncia; depois, observe bem a figura _`[no adaptada_`].
 2. Dividimos um quadrado _`[no adaptado_`] com 10 cm de lado em 7 polgonos. Calcule a rea de cada um deles. 

_`[{uma menina diz: "Que interessante! So as sete peas do tangram."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<151> 
<P>
3- reas de outros polgonos 

  Podemos calcular a rea de muitos polgonos, dividindo-os em tringulos. 

rea do trapzio 

  Considere um trapzio com as seguintes medidas: bases *b* e *b* e altura *h*. 
  Traando uma diagonal, obtemos dois tringulos: 

<F->
            *b*
        ^ccccccc^^^^^^^^^^
      ^                   _
    ^                  !::w *h*
  ^                    l_-_
.-------------------u'''v--#
          *b*
<F+>

Atrapzio=?b"h*2+?b"h*2=
  =?b"h+b"h*2=?b+b*2"h.

  A rea do trapzio  o pro-
 duto da metade da soma das me-
 didas das bases pela da altura: Atrapzio=?b+b*2"h. 
 
Exemplo 

  Nesta figura, temos um trapzio issceles: {b{l={r{a=5 cm. 

<F->
         B  4 cm R
          -----------        
         l         _
         l         _ 
         l     *h* _  
5 cm    l         _    5 cm
         r::   !::w    
         l_-_   l_-_     
   ------v--#---v--#------u
  L     I        S     A
  r::::::::::::::::::::::::w
            10 cm
<F+>

  Para obter a sua rea, precisamos calcular a medida da altura. 
  Veja que {i{s=4 cm, pois {b{r{s{i  um retngulo. Portanto, {l{i+{s{a=10-4=6. 
  Como tringulo {b{i{l==tringulo {r{s{a, temos {s{a=62=3. 
<152>
  Ento, no tringulo {r{s{a, pelo teorema de Pitgoras, temos: h2+32=52 ento: h2=16. Portanto: h=4 cm. 
  Agora, calculamos a rea do trapzio: 

 Atrapzio=?b+b*2"h=
  =?4+10*2"4=28 
 AT=28 cm2. 

rea do losango 

  Vamos obter a rea de um lo-
 sango com diagonais de medidas 
 *d* e *d*. 

<R+>
_`[{figura: losango onde *d*  a diagonal maior e *d*  a diagonal menor_`]
<R->

  As duas diagonais dividem o losango em quatro tringulos congruentes, cada um com a seguinte rea: Atringulo=?b"h*2=
 =?d2"d2*~2=?d"d*8. 
<P>
  Logo: AL=4"Atringulo=
 =4"?d"d*8=1"?d"d*2=
 =?d"d*2. 

  A rea do losango  metade do produto das medidas de suas diagonais: AL=?d"d*2.

Exemplo 

  Vamos calcular a rea deste losango: 

<R+>
_`[{figura: losango com as seguintes medidas: 10 cm `(diagonal maior`) e 3 cm `(diagonal 
  menor`)_`]
<R->

AL=?d"d*2=?10"3*2=15
 AL=15 cm2. 

<153>
rea dos polgonos regulares

  Considere um pentgono regular. A partir de seu centro, vamos dividi-lo em cinco tringulos issceles e congruentes. 
<P>
  Em cada tringulo, a base tem a medida l5 dos lados do pentgono e a altura tem a medida a5 dos aptemas do pentgono. Portanto: 

Atringulo=?l5"a5*2
 Apentgono=5Atringulo=
  =5"?l5"a5*2=
  =?5"l5*2"a5. 

  Note que 5"l5  o permetro do pentgono e ?5"l5*2  o semipermetro. Costuma-se indicar o permetro por 2p e o semipermetro por *p*. Ento: Apentgono=p"a5. 
  O raciocnio feito para o pentgono pode ser feito para qualquer polgono regular. Por isso, num polgono regular de *n* lados, com semipermetro *p* e aptema an, temos: 
<P>
  A rea de um polgono regu-
 lar  o produto do semiper-
 metro pela medida do aptema: 
 Apolgono=p"an.

<F->
     iccccccce
    i         e
   i           e
  i             e
 i               e
 e       {       i
  e      { a6 i
   e     {     i
    e    {    i
     e---{---i 

A=3"l6"a6
<F+>

<154>
Ao sobre rea do trapzio  

Faa o seu cartaz 

  Vimos um modo de obter a rea do trapzio, decompondo-o em dois tringulos. Esse modo est apresentado em um dos cartazes ilustrados a seguir. No outro cartaz, a frmula da rea do trapzio  obtida de outra maneira. H diversas maneiras de se chegar a essa frmula. 

<R+>
_`[{dois cartazes com os contedos a seguir_`]
<R->

Cartaz 1: rea do trapzio
<F->

             *b*
        -------------        
       k           {^
       k           {  ^
       k           {    ^
       k *h*       { *h*  ^
       k           {        ^
       k           {          ^
 ------v-----------#------------u
            *B*

Atrapzio=?Bh*2+?bh*2
Atrapzio=?`(B+b`)h*2.
<F+>
<P>
Cartaz 2: rea do trapzio

<F->
     x       b          y
  pcccccmcccccccccccccccccpcc
  l_-_            ^       l_-_ 
  r::j              ^     h::w
h l                   ^ 2   _ h
  l1                   ^    _
  l                       ^  _
  l                         ^_
  j::::::::::::::::::::::::::::j
               B

Aretngulo=B"h
Atringulo1=xh2
Atringulo2=yh2
Atringulo1+Atringulo2=
  =xh2+yh2=?h`(x+y`)*2
Atringulo1+Atringulo2=
  =?h`(B-b`)*2.
<P>

         *b*
      cccccc
            _ ^
            _   ^
         *h*_     ^
            _::    ^
            __-_      ^
------------#--#--------u
       *B*

Atrapzio=Aretngulo-
  -`(Atringulo1+Atringulo2`)
Atrapzio=Bh-?h`(B-h`)*2=
  =?Bh+bh*2
Atrapzio=?h`(B+b`)*2.
<F+>

  O professor orientar a formao de grupos. 
  Cada grupo dever descobrir uma maneira de obter a rea do trapzio e, depois, fazer o cartaz correspondente. 

<155>
<P>
Atividades

<R+>
31. Calcule a rea destes trapzios, sabendo que as indicaes feitas esto em centmetros. 
<F->
a)
           1,5
         --------
        k       ^
        k         ^
        k 2        ^
        k             ^
        r::            ^
        k_-_              ^
  ------k--#----------------u
              5,5

b)                 1
             cccccccccccm
           ^{          
         ^  { 2       
       ^    {          
     ^      {::    
   ^        {_-_   
 ----------#--#--
        3
<F+>
<P>
_`[{para as atividades 32 e 33, pea orientao ao professor_`]

32. Calcule a rea do losango _`[no adaptado_`], que tem como vrtices os pontos mdios dos lados deste retngulo: 
 33. Nesta piscina, duas paredes so trapezoidais, e as outras paredes e o fundo so retangulares. Calcule a rea de cada parede e a do fundo da piscina. 
 34. O trapzio da figura tem bases medindo 7 cm e 3 cm e rea de 15 cm2. Quanto mede sua altura?

<F->
               ------------        
             ^k          {
           ^  k          { 
         ^    k          {  
       ^      k          {   
     ^        r::       _:: 
   ^          k_-_       {_-_  
  ------------v--#-------#--#---u
<F+>
<P>
35. Calcule a rea deste octgono regular _`[no adaptado_`], 
  inscrito na circunferncia de centro O. 
 36. Em um trapzio, a base maior mede o dobro da base menor, e esta tem a mesma medida da altura. A rea desse trapzio  de 24 cm2. Determine as medidas das bases e da altura do trapzio.

37. (Saresp) {a{b{c{d  um quadrado de 8 cm de lado. {m{n{p  um tringulo, traado no quadrado, conforme a figura _`[no adaptada_`]: 
  A partir dos dados apresentados, podemos afirmar que a rea do tringulo {m{n{p : 
 a) 64 cm2 
 b) 32 cm2
 c) 22 cm2
 d) 20 cm2 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<156>
 Pensando em casa
 
38. Calcule a rea de um: 
 a) losango com diagonais de 3 cm e 1 cm; 
 b) hexgono regular com lados de 1 cm.

39. Calcule a rea do losango {d{i{n{o _`[no adaptado_`], sabendo que seu permetro  de 
  32 cm e que ^c?{d{h* mede 
  6 cm. 
 40. Nesta figura, o paralelogramo assinalado tem a metade da rea do trapzio {a{b{c{d. Encontre a medida da base maior e da altura do trapzio. 
<P>
<F->
               C 
               _
             ^ _
           ^   _....
         ^   ^_   
    A ^   ^  _   
     ^   ^    _ *x*
  5 l  ^   !::w   
     l^     l_-_   
     h:::::::h::j,,,,
    B   *x*   D
<F+>

41. Este trapzio issceles tem 30 cm2 de rea e 5 cm de altura. Determine as medidas das bases, sabendo que a rea do retngulo {a{r{a{n  de 15 cm2. 

<F->
         A     R
          $::::::; 
         {      k
         {      k 
         {      k   
         {      k   
      !::w      r:: 
      l_-{      k_-_   
   ---v--#------v--#---u      
  D     N     A     M
<F+>
<P>
42. O permetro de um losango  de 20 cm. Uma das diagonais mede o dobro da outra. Qual  a rea desse losango?
 43. Esta embalagem  formada por dois hexgonos regulares e seis retngulos. Com quantos centmetros quadrados de papelo se faz essa caixa? 

_`[{figura: embalagem com a forma de um prisma hexagonal. Medidas a seguir_`]

  lado do hexgono: 10 cm
  retngulo: 10 cm por 15 cm

44. (Saresp) Se a rea do 
  losango L, pintado de roxo 
  na figura _`[no adaptada_`],
   1 cm2, qual  a rea 
  do polgono P? 
 a) 12 cm2 
 b) 8 cm2
<P>
 c) 6 cm2
 d) 4 cm2

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

45. Um decgono regular est inscrito numa circunferncia com raio de 8 cm. Use a tabela trigonomtrica da pgina 307 para calcular: 
 a) o permetro do decgono; 
 b) a rea do decgono. 

Desafios e surpresas 

13. Um trapzio de bases medindo 4 cm e 16 cm est inscrito em um crculo, e por isso  um trapzio issceles. Um dos ngulos agudos do trapzio mede 45. Determine a sua rea. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
 
<157>
<P>
4- rea do crculo 

  A ideia bsica para se obter a rea do crculo  considerar polgonos regulares inscritos na circunferncia, cada vez com um nmero maior de lados. Desse modo, a rea do polgono vai se aproximando da rea do crculo. 

<R+>
_`[{desenho de quatro polgonos 
  regulares inscritos em circun-
  ferncias: um tringulo, um quadrado, um hexgono e um 
  decgono_`]
<R->

  J sabemos que a rea de um polgono regular inscrito numa circunferncia  o produto do semipermetro pelo aptema: Apolgono=
 =p"an. 
  Veja o que acontece com o polgono se continuarmos aumentando o nmero de lados: 
<R+>
  seu permetro 2p se aproxima do comprimento da circunferncia
<P>
  C=2^pr e, por isso, seu 
  semipermetro *p* se aproxima 
  de ^pr; 
  seu aptema se aproxima de *r*. 
<R->
  Assim, para obter a rea 
 do crculo, usamos a frmula 
 Apolgono=p"an, substituindo *p* por ^pr e substituindo an por *r*: Apolgono=p"an logo, AC=^pr"r. 

  A rea do crculo com raio de medida *r* : AC=^pr2.

Exemplo 

  A rea deste crculo : 

<R+>
_`[{figura: crculo com raio de 
  medida 4 cm_`]
<R->

AC=^pr2=^p'42^=3,14'16
 AC^=50,24 cm2.

<158>
<P>
Atividades

<R+> 
46. (Saresp) A rea de um crculo pode ser calculada usando-se a frmula: A=^pr2, onde: A=rea; r=raio; ^p^=3,14. 
  A rea de um crculo de raio 
  5 cm  de: 
 a) 15,70 cm2 
 b) 25,00 cm2
 c) 78,50 cm2
 d) 314,00 cm2

_`[{para as atividades de 47 a 51, pea orientao ao professor_`]

47. A regio colorida na figura _`[no adaptada_`]  um setor circular. Calcule a sua rea. 
  Resoluo: 
  Numa circunferncia, a rea 
  do setor circular  propor-
  cional  medida do ngulo 
  central que o determina. Por isso, vale esta regra de trs:
<P>
  rea do setorrea do crculo=
  =:?{a{o{b*360}. 
  Ento, indicando a rea do setor por AS e a do crculo por AC, temos: 
  ASAC=40}360} 
  AS^pr2=40}360} 
  AS?^p"32*=19
  AS=^p cm2
  AS^=3,14 cm2.
 48. Calcule a rea do setor circular colorido _`[no adaptado_`]. 

49. Nesta figura _`[no adaptada_`], C  o centro da circunferncia. Calcule a rea: 
 a) do tringulo {a{b{c; 
 b) da regio azul. 

50. Os dois crculos da figura _`[no adaptada_`] so concntricos, isto , tm o mesmo 
  centro C. A regio colorida chama-se coroa circular. 
  Calcule a sua rea. 

51. Este quadriculado  formado por quadrados com 0,5 cm de 
<P>
  lado. Veja que no crculo cabem aproximadamente 12 quadradinhos inteiros. Calcule a rea: 

_`[{figura no adaptada_`]

a) de cada quadradinho; 
 b) do crculo, a partir do nmero de quadradinhos que cabem nele; 
 c) do crculo, mas agora utilizando a frmula {a{c=^pr2. 

<159>
52. Calcule a rea de um crculo em que a circunferncia mede 37,68 cm.

53. (Saresp) O dimetro 
  das rodas de um caminho  de 
  80 cm. Supondo ^p=3, calcule a distncia que o caminho percorre a cada volta, sem derrapar. 
  Sugesto: o comprimento da circunferncia pode ser calculado usando-se a frmula C=2^pr, onde: C=comprimento; r=raio; ^p^=3. 
 a) 2,4 m 
 b) 3,0 m
 c) 4,0 m
 d) 4,8 m

54. Um sitiante quer fazer um galinheiro, usando uma tela com 24 m de comprimento. De que modo esse viveiro conter rea maior: tendo a forma de um quadrado, de um hexgono regular ou de um crculo?

_`[{para as atividades 55 e 56, pea orientao ao professor_`]

55. Observe a figura _`[no adaptada_`]: a circunferncia maior tem centro O e raio r; as duas circunferncias menores se tangenciam em O. 
 a) A rea do crculo maior  quantas vezes a rea da parte colorida? 
 b) Prove que o permetro do crculo maior  igual ao permetro da parte colorida.
<P>
56. Um quadrado {a{b{c{d tem lados de 4 cm. Com centro em D, traamos um arco ^:?{a{c*. Depois, com centro em B, traamos outro arco ^:?{a{c*. Qual  a rea da regio colorida na primeira figura? E na segunda?

_`[{figuras no adaptadas_`]

Pensando em casa

_`[{para as atividades de 57 a 64, pea orientao ao professor_`]

57. Veja na figura _`[no adaptada_`] as dimenses reais de uma bandeira brasileira. 
 a) Calcule a rea da regio verde do retngulo. 
 b) Calcule a rea da regio amarela do losango. 

58. Na figura _`[no adaptada_`], temos duas semicircunferncias: uma tem centro A e dimetro de 
<P>
  8 cm; a outra tem centro B. Calcule a rea da regio colorida. 

<160>
59. Calcule a rea da regio assinalada sabendo que: 
 a) A  centro do crculo maior _`[no adaptado_`]. 
 b) O centro do crculo  o mesmo que o do quadrado {a{b{c{d _`[no adaptado_`]. 

60. Este setor circular tem 28,26 cm2 de rea. Quantos centmetros tem o arco ^:?{a{b*? 
 61. Este setor circular tem 94,2 cm2. Quantos graus tem o ngulo assinalado na figura _`[no adaptada_`]? 
 62. Um quadrado {a{b{c{d tem lados de 20 cm. Com centro nos pontos mdios dos lados ^c?{a{d* e ^c?{b{c*, traamos os arcos ^:?{a{d* e ^:?{b{c*. Depois, de maneira similar, traamos os arcos ^:?{a{b* e ^:?{d{c*. 

_`[{duas figuras no adaptadas_`]
<P>
  Qual  a rea da regio colorida na primeira figura? E na segunda?
 63. Nesta figura _`[no adaptada_`], o crculo maior tem 
  12,56 cm2. Qual  a rea da regio colorida? As duas circunferncias tm centro O, mas o raio da maior  o dobro do raio da menor. 
 64. Estas trs latas tm pra-
  ticamente a mesma capacidade:
  1 L. 

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

  A primeira tem a forma de um paraleleppedo retangular: suas faces so retngulos; a segunda tem a forma de um cubo: suas faces so quadrados; a terceira  feita com dois crculos e um retngulo. 
  Qual dessas embalagens necessita de menor quantidade de folha de flandres para ser feita? 

<161>
Desafios e surpresas 

_`[{para as atividades de 4 a 6, pea orientao ao professor_`]

4. Em um tringulo {a{b{c equiltero, de lado 12 cm, trace circunferncias com centros em A, B e C e raios de 6 cm. Determine a rea da regio do tringulo limitada pelas trs circunferncias. 
 5. Calcule a rea da lua colorida _`[no adaptada_`], sabendo que: o crculo maior tem centro A e raio de 10 cm; o tringulo {a{b{c  retngulo, com hipotenusa ^c?{b{c*; o crculo menor tem centro no ponto mdio de ^c?{b{c*. 
 6. Para proteger um terreno circular com raio de 12 m, amarra-se um feroz cachorro num ponto da circunferncia que contorna o terreno. A corda que prende o co tambm tem 12 m; logo, s uma parte do terreno fica 
<P>
  protegida. Determine a rea do terreno que est sob a proteo do co. 
<R->
 
               ::::::::::::::::::::::::

<162>
5- Volume 

  Volume  a medida da regio 
 do espao ocupada por figuras espaciais como cubos, esferas, pirmides etc. 
  Assim como as frmulas de rea das figuras planas mais comuns tm diversos usos, as frmulas de volume das figuras espaciais mais comuns tambm tm utilidade. Precisamos calcular a rea de terrenos, tapetes, tecidos, pavimentos, construes etc. Da mesma forma,  necessrio obter volumes de embalagens de produtos alimentcios, silos (depsitos de gros), compartimentos de carga de avies e navios etc. 
<P>
Ideias bsicas 

  Para medir volume, a unidade mais usada  um cubo com aresta unitria `(1 centmetro ou 
 1 decmetro ou 1 metro etc.`). Por isso, as unidades de volume so centmetro cbico `(cm3`), 
 decmetro cbico `(dm3`), metro cbico `(m3`) etc. 
  s vezes, devemos obter o 
 volume interno de uma embalagem 
 e queremos saber quanto lquido ela pode conter. Nesse caso, nos referimos  capacidade da embalagem e usamos unidades como o litro `(L`) e o mililitro `(mL`). Mas tambm aqui o volume est envolvido e as unidades de capacidade se relacionam com as de volume: 
 1 L=1 dm3; 1 mL=1 cm3. 
<P>
Informao 

_`[{trs desenhos_`]

<R+>
  1. Uma embalagem de um litro de leite;
  2. Um cubo com as dimenses: 1 dm"1 dm"1 dm. Sendo 
  1 dm=10 cm;
  3. Um cubo composto de 1.000 cubinhos iguais.

Legenda: 1 litro de leite enche um cubo de aresta 10 cm, no qual cabem 1.000 cubinhos de aresta 1 cm. 

_`[{duas figuras formadas por 
  cubinhos. A primeira com 
  17 unidades e a segunda com 
  4 unidades_`]
 Legenda 1: Volume: 17 unidades de volume.
 Legenda 2: Volume: 4 unidades de volume.
<R->
<P>
  Em alguns casos, os volumes so obtidos por contagem das unidades que formam a figura espacial. 
  Entretanto, na maioria dos casos,  conveniente usar uma frmula para calcular volumes. 

<163>
Volume do paraleleppedo 
  retangular 

  O volume de um paraleleppedo retangular (ou bloco retangular)  obtido pelo produto das trs dimenses. Vamos explicar por qu. 
  No paraleleppedo da ilustrao podemos obter o volume contando quantos cubos unitrios o formam. 

<R+>
_`[{figura: dois paraleleppedos descritos a seguir_`]

  1. Paraleleppedo com as dimenses: 5 cm"2 cm"3 cm;
  2. O mesmo paraleleppedo, agora, dividido em 5 fileiras, cada uma com 2 cubos e 3 camadas, sendo a superior de cor vermelha.
<R->
<P>
  Temos, na camada vermelha, 5 fileiras, cada uma com 2 cubos. Como h 3 camadas, o total de cubos  dado pela multiplicao 5"2"3=30. 
  Logo, o volume  30 cm3. 
  O raciocnio apresentado 
 corresponde a multiplicar comprimento por largura por altura: V=5 cm"2 cm"3 cm=30 cm3. 
  Se tivssemos um paraleleppedo retangular com *a* fileiras de *b* cubos formando *c* camadas, ele teria comprimento *a*, largura *b* e altura *c*. Acharamos o total de cubos efetuando comprimento
 larguraaltura, ou seja, a"b"c. 
  Podemos ento concluir: 

  O volume V do paraleleppedo retangular de dimenses *a*, *b* e *c*  dado pela frmula V=a"b"c. (Esses comprimentos esto em uma mesma unidade *u* e o volume estar na unidade cbica correspon-
 dente.) 
<P>
   importante notar que as medidas *a*, *b*, *c* no precisam ser nmeros inteiros. Podem ser quaisquer nmeros reais maiores que zero. Veja um caso em que *c*  nmero racional no inteiro. 

Exemplo 

<R+>
_`[{figura: paraleleppedo com uma camada azul composta por 4 fileiras, cada uma com 3 cubos onde a altura  de 0,5 cm e duas camadas laranja de 12 cubos onde a altura dos cubos  de 1 cm_`]
<R->

  H 2 camadas de 12 cubos 
 unitrios e uma camada com 12 "metades de cubos unitrios", 
 ou seja, 6 cubos. O total  24+6=30 cubos unitrios. 
 Logo, o volume  dado por 
 4 cm"3 cm"2,5 cm=30 cm3. 

<164>
<P>
Atividades 

<R+>
65. As figuras espaciais _`[no adaptadas_`] so formadas por cubinhos unitrios. Determine o volume de cada uma. 
 
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

66. No bloco retangular desenhado a seguir, determine a medida indicada por *x*, sabendo que o volume  24 m3. 

_`[{figura: bloco retangular com as dimenses: 2,5 cm de comprimento, 3 cm de largura e *x* de altura_`]

67. O rtulo de uma lata de azeite informa que a quantidade do produto  de 500 mL. A 
  lata tem forma de bloco retangular e suas dimenses so: base de 8 cm por 6 cm e altura 
<P>
  de 12,5 cm. Qual  o volume da lata? Pode a lata conter o que anuncia? 

68. O Rio Amazonas despeja no mar cerca de 200 milhes de litros de gua em cada segundo! 
 a) Em quantos segundos, o rio encheria um imaginrio cubo 
  gigante e oco, com 100 m de aresta? 
 b) Imagine que em um segundo 
  o rio encha de gua um recipiente com forma de paraleleppedo retangular, tendo 100 m de 
  comprimento, 50 m de largura 
  e *x* metros de altura. Determine *x*. 

69. Uma caixinha com forma 
  cbica tem 12 cm de aresta. 
  A caixa foi feita dobrando 
  papelo e colando as faces com fita adesiva. 
 a) No mnimo, quantos centmetros quadrados de papelo fo-
<P>
  ram necessrios para construir a caixa? 
 b) Qual  o volume da caixa?

Pensando em casa 

70. Em um armrio h uma prateleira com 50 cm de comprimento e 20 cm de largura, a uma distncia de 30 cm da prateleira superior. Nessa prateleira sero colocadas vrias caixas. Quantas caixas com a forma de bloco retangular e dimenses de 25 cm, 20 cm e 10 cm cabem na prateleira? 

<165>
_`[{para as atividades 71, 72 e 73, pea orientao ao professor_`]

 71. (UPM-SP -- adaptada) Na figura _`[no adaptada_`], h uma pilha de cubos ocupando o canto de uma sala. Cada cubo tem volume 1. Qual  o volume da pilha? 
 72. Sabe-se que, geometricamente, uma esfera  formada pelos pontos do espao que equidistam do ponto central. A distncia do centro a qualquer de seus pontos  o raio da esfera. Na figura _`[no adaptada_`], temos uma esfera de 2,5 m de raio "encaixada" em um cubo. A esfera tem um nico ponto de contato com cada face do cubo. Qual  o volume do cubo? 
 73. Alice ganhou um presente de aniversrio que veio em um pacote muito bonito. A caixa tinha forma de cubo e, sem contar o lao, foram usados 1,60 m de fita para fazer o pacote. Qual  o volume do pacote? 
 74. (Saresp -- adaptada) Lus quer construir uma mureta com tijolos de 20 cm por 10 cm por 8 cm. Observe a figura com as indicaes da forma e da extenso da mureta e calcule o nmero de tijolos necessrios para a 
  realizao do servio. (Repare 
<P>
  especialmente na posio dos tijolos.) 

_`[{figura: desenho de uma mureta de 2 m de extenso formada por quatro camadas com duas fileiras, cada uma com dois tijolos na posio horizontal_`]

75. Na ilustrao _`[no adaptada_`] temos um prisma reto, cuja base  um hexgono regular. So dadas duas informaes: 
  a altura mede o dobro da aresta da base; 
  a rea do retngulo interno, destacado na ilustrao,  
  36 cm2. 
  Use as informaes e encontre o volume do prisma. 
  Ajuda: existe uma relao entre as medidas da diagonal maior e do lado em todo hexgono regular. Essa relao facilita a resoluo. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<166>
6- Volume de prismas e cilindros
  retos 

  O paraleleppedo retangular  um prisma. Os prismas so figuras espaciais com: 
<R+>
  duas bases, que so polgonos congruentes de arestas para-
  lelas, situados em planos distintos; 
  faces laterais que so paralelogramos, nos quais dois lados so arestas paralelas das bases. 

_`[{figura: um prisma reto e um oblquo_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Nos prismas retos, as faces laterais so retngulos. Esses prismas so os mais comuns no dia a dia. Por isso, vamos tratar apenas do volume deles. 
<P>
Prisma reto de base retangular 

  Esse prisma  o paraleleppedo retangular. J vimos que seu volume V  dado pela frmula V=a"b"c. 
  Considerando como base o 
 retngulo de lados *a* e *b* 
 e passando a representar a al-
 tura por *h*, em vez de *c*, 
 podemos apresentar a frmula do volume do paraleleppedo reto de outra maneira: 

  O volume V do paraleleppedo com base de lados *a* e *b* e altura *h*  o produto da rea da base pela altura. Em smbolos: V=AB"h.

  A nova frmula diz a mesma coisa que a anterior. Qual o motivo da mudana? 
<167>
  Na segunda frmula fica mais fcil perceber que, se a rea da base  fixa, o volume  diretamen-
<P>
te proporcional  altura, ou seja, ambos aumentam na mesma razo. 

<R+>
_`[{figura: trs prismas de alturas diferentes_`]
<R->

  I -- h
  II -- 2h
  III -- 2,5h

<F->
_`[{tabela adaptada_`]
               
<F->
            _. da base lVolume
::::::::::::w::::::::::::r:::::::
prisma I   _    A      l V
prisma II _    A      l 2"V
prisma III_    A      l 2,5"V
<F+>

Prismas retos em geral 

  Alm do motivo apresentado anteriormente, a frmula V=AB"h no mudaria se, em vez de um prisma de base retangular, tivssemos algum outro prisma. 
<P>
Exemplo 

  Considere prismas triangulares, cuja base  um tringulo de rea 2 cm2. 
  Contando as unidades cbicas: 
<R+>
  se a altura  1 cm, o volume ser 2 cm3; 
  se a altura  2, o volume ser 4 cm3; 
  se a altura  2,5 cm, o volume ser 5 cm3. 
<R->
  Novamente, com rea da base constante, o volume aumenta na mesma razo da altura. Desses raciocnios, podemos concluir: 

  O volume V de qualquer prisma reto  o produto da rea da base pela altura. Em smbolos: V=AB"h.

Volume dos cilindros retos 

  Voc j sabe o que  um cilindro. Os cilindros se relacionam com os prismas: se voc imaginar um prisma cuja base seja um polgono de muitssimos lados, essa base ficar bem parecida com um crculo e o prisma ficar parecido com um cilindro. 
<168>
  Assim como os prismas, temos cilindros retos e oblquos. 
  Os cilindros retos, como os prismas, no "engordam", nem 
 "emagrecem" ao longo da altura, isto , mantm sempre a mesma forma. Mais precisamente, se um plano paralelo ao plano da base cortar o cilindro (ou o prisma) em qualquer ponto da altura, a seo ser congruente  base. 
  Por isso, assim como nos prismas, se a rea da base de um cilindro  constante, o volume e a altura crescem na mesma razo. 
  Esses raciocnios nos levam a perceber que o volume dos cilindros retos pode ser obtido da mesma maneira que o dos prismas retos: rea da base multiplicada pela altura, nas unidades convenientes. Como a rea da base  ^pr2, conclumos: 
<P>
  O volume V de qualquer cilindro reto de altura *h*  dado pela frmula V=^p"r2"h. 

Exemplo 

  Para calcular o volume do cilindro _`[no adaptado_`], usamos a frmula: 

V=^p"52"10 cm3 
 V=250^p cm3.

  Dependendo da situao, 
 d-se uma resposta aproximada, 
 fazendo ^p=3,14. Nesse caso V=785 cm3.

<169>
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 76 a 80, pea orientao ao professor_`]

76. (Unesp) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da planificao da ilustrao _`[no adaptada_`], obteremos uma figura geomtrica espacial. 
  Qual  a figura obtida: pirmide de base pentagonal, paraleleppedo, prisma ou octaedro? 

77. A aresta da base do prisma reto da ilustrao _`[no adaptada_`] mede 4 cm. Sua base  um polgono regular e sua altura mede 63 cm. 
 a) Qual  a rea da base? 
 b) Qual  o volume do prisma? 

78. Um silo (grande depsito para armazenar gros, como soja ou milho) tem o formato e as dimenses dadas na figura _`[no adaptada_`]. Note que ele parece formado por dois prismas retos. 
  Determine o volume do silo. 
 79. Dezenas de crculos de papelo, todos com raio medindo 
  10 cm, so empilhados descuidadamente, resultando na figura espacial da ilustrao _`[no adaptada_`], a qual tem 20 cm de altura. 
  Qual  o volume dessa forma tridimensional? Explique como pensou. 
 80. Considere um prisma cujas bases so tringulos equilteros e todas as arestas so congruentes. Se o volume desse prisma  2.0003 cm3, quanto mede uma de suas arestas? 
  `(Sugesto: se a aresta desse prisma mede *a*, a rea da base  ?a23*4`).

Pensando em casa 

81. Dado um prisma reto com as medidas em metros indicadas na figura, determine as expresses algbricas correspondentes: 

_`[{prisma reto com as medidas 
  a seguir_`]

  comprimento: x
  largura: x
  altura: 2x
<P>
a) ao volume; 
 b)  rea total (soma das reas das faces). 

<170>
82. (Saresp -- adaptada) Se a rea da base de um prisma triangular reto, com todas as arestas medindo 10 cm,  de aproximadamente 43 cm2, qual  seu volume em centmetros cbicos? 
 83. (UPM -- adaptada) A figura a seguir representa um reservatrio de gua totalmente cheio. Aps terem sido consumidos 12 litros, em quantos decmetros o nvel de gua ter baixado? 

_`[{figura de um bloco retangular com 0,8 m de comprimento e 0,5 de largura_`]

84. Uma calha de 5 m de comprimento tem forma de prisma reto cujas bases so trapzios issceles, conforme mostra a ilustrao _`[no adaptada_`]. 
   importante conhecer a capacidade (volume interno) da calha para saber se ela escoa a gua da chuva de maneira adequada. Quantos litros de gua a calha apresentada pode conter? 

<F->
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  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

85. Sabe-se que 1 kg de terra adubada ocupa 1,7 dm3. Dona Clara comprou um vaso com forma de cilindro reto, com as seguintes dimenses internas: raio da base 20 cm; altura 50 cm. 
  Quantos quilos de terra ela deve comprar para encher totalmente o vaso? `(Use ^p=3,14`). 

Desafios e surpresas 

7. (UPM-SP, adaptada) Tem-se um cubo de madeira, de aresta 10 cm, em que cada uma das faces tem uma cor diferente das demais e que no se confunde com a cor da madeira. Subdividimos esse cubo em cubos menores de 1 cm de aresta. O nmero de cubos que tm faces com exatamente trs cores diferentes 
  (uma das quais pode ser a cor da madeira) : 
 a) 8  
 b) 12  
 c) 64
 d) 96 
 e) 512
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte